Вышеупомянутые результаты, полученные не так давно Полем Коэном и другими учеными — Петром Новиковым, Хао Вангом, Юрием Матиясевичем — и характеризующиеся независимостью от традиционной системы аксиом некоторых наиболее фундаментальных математических утверждений, говорят о новой роли прагматических подходов. Работа с автоматами поможет определить, можно ли решить задачу с помощью существующих средств.
Давайте рассмотрим «маленькую» специальную задачу с трехмерным пространством, чтобы проиллюстрировать то, о чем мы рассуждаем. В пространстве имеется замкнутая кривая и твердое тело данной формы. Задача состоит в том, чтобы протолкнуть данное дело через данную кривую. В математике нет четких критериев, которые позволили бы судить о том, осуществимо это или нет. Тело приходится вращать, покачивать, проталкивать и «пробовать», чтобы узнать можно ли это сделать. Аналогичную задачу можно рассматривать и при большем числе измерений, к примеру пяти. Идея заключается в том, чтобы занести ее в компьютер и пробовать различные возможности движения. Возможно, после очень большого числа таких попыток у исследователя этой задачи разовьется ощущение свободного маневрирования и в пространстве с большим числом измерений, а также новая почти тактильная интуиция. Это, конечно, частный, незначительный и неважный пример, однако я считаю, что мы могли бы развить в себе новые свойства воображения, благодаря подходящему экспериментированию вкупе с новыми средствами, особенно электронными компьютерами, реализуя на них и наблюдая с их помощью различные процессы роста и эволюционное развитие.
Я думаю, что влияние электронных компьютеров существенно распространится и на чистую математику, так же, как это уже произошло с математическими науками, главным образом с физикой, астрономией и химией.
Этот основанный на предположениях обзор аспектов будущего математики уносит нас далеко от фон Неймана, его современников и той роли, что они сыграли в эволюции науки четверть века назад. Быстрые темпы роста организованной умственной деятельности человека, несомненно, ускорили появление компьютеров, что предвещает качественные изменения в нашем образе жизни и мышления. Как гласит одно из забавных замечаний Нильса Бора, «предсказывать очень трудно, особенно будущее». Но я думаю, что математика в значительной степени изменит свои аспекты. Возможно, произойдет нечто радикальное, появится совершенно иная точка зрения на сам аксиоматический метод. На смену кропотливому изучению специальных теорем, которые исчисляются миллионами, и мышлению по правилам оперирования раз и навсегда установленными символами придет, быть может, математика, в которой будет все больше и больше задач, или «пожеланий», или программ более общего характера. Не будет большого дополнительного количества специальных пространств, определений специальных многообразий, специальных отображений одного или другого, хотя немногие из них все же выживут: «apparent rari nantes in gurgite vasto»[1], не будет новых групп отдельных теорем, а вместо них появятся общие схемы и очертания более обширных теорий, более огромных областей, тогда как текущее получение доказательств теорем будет оставлено студентам или даже машинам. Возможно, это станет сравнимо с импрессионистской живописью, которой противопоставляется вымученное, передающее каждую мелочь рисование на заре веков. Это могла бы быть более живая и изменяющаяся картина, причем не только в отношении выбора определений, но и самих правил игры, великой игры, правила которой не меняли со времен античности до настоящего момента.
Но даже если правила еще не изменились, изменился, уже за то время, что живу я, размах математики. В девятнадцатом веке все приложения математики распространялись только на физику, астрономию, химию, механику, машиностроение и другие грани технологии. С не таких уж давних пор математика участвует в формулировании фундаментальных положений других наук, а так называемая математическая физика в действительности есть теория всей физики, затрагивающая самые абстрактные ее разделы, такие как квантовая теория, самый необычный четырехмерный континуум пространства-времени. Все это особенно характерно для двадцатого столетия. За короткий промежуток от шестидесяти до ста лет математические идеи стали применяться повсеместно и в огромных количествах. Это сопровождалось, можно сказать, взрыву подобным созданием новых больших и малых математических объектов и тенденцией «добивать все окончательно» путем столь широкого распространения и крохоборнических исследований малейших, почти что талмудистских деталей.
Свободное копирование
