Одновременно с написанием книжки «Непрерывные группы» я занимался и другими проблемами. Впрочем, для этого были более существенные причины. Об этом я расскажу, пожалуй, потом.
Так, в 1936 году мною была получена гомотопическая классификация отображений сферы S n +1 на сферу S n при n >2. Как я уже говорил, оказалось, что число классов отображений равно 2. Тогда же я занимался отображениями сферы S n +2 на сферу S n при n >2, но, сделав ошибку в вычислении, получил неверный результат, установив, что имеется лишь один класс отображений. В действительности же имеются два класса отображений, это я выяснил много лет спустя, когда дал полное изложение этой работы[1].
Окончив книжку, я все свои усилия направил на гомотопическую классификацию отображений одного пространства A на другое пространство B . В первую очередь надо было дать классификацию отображений сферы S n +k на сферу S n . Усилия, направленные на решение последней задачи, привели меня к изучению гладких многообразий. Хочу остановиться на этом подробнее, так как в этой области я получил важные результаты.
Два отображения f и g пространства A в пространство B называются гомотопными, если, непрерывно меняя отображение f , можно сделать его совпадающим с g . Проблема гомотопической классификации отображений стала центральной проблемой топологии на много лет. Она оказалась очень трудной даже для простейшего случая — для случая сфер. Если пространство B есть сфера S n , то задачу можно локализовать следующим образом. Выберем на сфере S n произвольную точку p и обозначим через H произвольно малую шаровую окрестность этой точки. Оказывается, что если два отображения f и g совпадают на H , то они гомотопны между собой. Говоря, что отображения f и g совпадают на H, я имею в виду следующее: f –1(H), т.е. полный прообраз шара H при отображении f , совпадает с полным прообразом шара H при отображении g . То есть мы имеем равенство f –1(H ) = g –1(H ) = C . На множестве C отображения f и g совпадают между собой, т.е. при xÎC мы имеем f (x) = g (x). Это очень простое соображение легло в основу всех моих исследований.
Обозначим через q точку, противоположную точке p . Непрерывно растягивая шарик H вдоль его радиусов и одновременно сжимая пространство S n H в точку q , мы получим непрерывную деформацию всей сферы S n . Применяя эту деформацию к отображениям f и g , мы убедимся, что в конце этой деформации отображения f и g перейдут в совпадающие. Таким образом, они гомотопны между собой.
В случае если пространство A — гладкое многообразие, локализацию следующим образом можно сделать дифференциальной, т.е. перейти к дифференциалам. Прежде всего, очевидно, что всякое непрерывное отображение гладкого многообразия A на сферу S n можно аппроксимировать гладким отображением. Таким образом, достаточно рассматривать только гладкие отображения многообразия A на сферу S n . Предположим далее, что размерность многообразия A больше или равна размерности сферы S n . Тогда оказывается, что точку p на сфере S n можно выбрать таким образом, чтобы функциональный определитель отображения f в каждой точке x Îf –1(p )=M k многообразия A , переходящей в точку p , был максимальным, т.е. равнялся n . Тогда полный прообраз точки p в пространстве A представляет собой гладкое многообразие размерности k , равной разности размерностей A и S n . В точке p на сфере S n выберем n ортогональных между собой единичных векторов u 1, ..., u n. Обозначим через v i (x ) вектор пространства A , ортогональный к многообразию M k в точке x и переходящий в вектор u i.
Таким образом, в каждой точке x многообразия M k построены n линейно независимых векторов v 1(x ), ..., v n (x ). Ортонормируя систему векторов v 1(x ), ..., v n (x ), мы получим ортонормированную систему векторов w 1(x ), ..., w n(x ) в каждой точке х многообразия M k . Многообразие M k , в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S n +k , оснащённое многообразие M k однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p . От сферы S n +k легко перейти к евклидову пространству E n +k . Таким образом, проблему классификации отображений сферы S n +k на сферу S n я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий M k в евклидовом пространстве E n +k . Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием M k , когда отображение f гладко деформируется. Это и было мною сделано.
Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий M k , расположенных в евклидовом пространстве E n +k (заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия M k , гомологические классы. Дам здесь их определение.
В евклидовом пространстве E k +1 проведём через некоторую точку O все k -мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H (k , l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия M k проведём касательную к нему плоскость Т х . Обозначим через T (x ) плоскость из многообразия H (k , l), параллельную плоскости T x . Таким образом, возникает отображение T многообразия M k в многообразие H (k , l ). Это отображение я назвал тангенциальным отображением . Для многообразия H (k , l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H (k , l ), то он высекает на многообразии T (M k ) некоторый цикл Y , прообраз которого Q в многообразии М k и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия M k . Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т.е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия M k ; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия M k ? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.
Много лет спустя С. П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия M k , т.е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия M k . Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой.
Связь между гомотопической классификацией отображений сферы S n +k на сферу S n и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k =1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k ≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году 14. Существенно упростить решение задачи для k =1 и k =2 мне удалось. Решить задачу для k ≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия.
Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами.
Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» в 1955 г. в «Трудах Математического института»[2].
Несмотря на то, что я не сумел решить задачу для k ≥3, результаты, полученные мною по теории гладких многообразий, оказались существенными и вошли в топологию гладких многообразий. Независимо от меня задачей классификации отображений S n +k на S n занимался Лере, но совершенно на другом пути. Его первоначальные публикации, подводящие к решению этой проблемы, были крайне формалистичны, и совершенно не видно было, к чему они ведут. Так что я только попытался их изучить, а потом бросил.
В конечном счёте Лере на своём пути решил задачу классификации отображений сферы S n +k на сферу S n при произвольном k . Этим самым моя многолетняя работа в этой области была мною закрыта. Это послужило одной из причин, по которым я полностью бросил топологию и занялся прикладными проблемами. Впрочем, для этого были и более существенные причины. Об этом, однако, я расскажу позже.
Свободное копирование
